Типы и виды случайных процессов. Случайные процессы и их основные статистические характеристики

На практике встречаются такие случайные величины, которые в процессе одного опыта непрерывно изменяются в зависимости от времени или каких-нибудь других аргументов. Например, ошибка сопровождения самолёта радиолокатором не остаётся постоянной, а непрерывно изменяется со временем. В каждый момент она случайна, но её значение в разные моменты времени при сопровождении одного самолёта различны. Другими примерами являются: угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; ошибка радиодальномера при непрерывном измерении меняющейся дальности; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления или самонаведения; флюктуационные (дробовые и тепловые) шумы в радиотехнических устройствах и так далее. Такие случайные величины называются случайными функциями. Характерной особенностью таких функций является то, что вид их до проведения опыта в точности указать не возможно. Случайная функция и случайная величина относятся друг к другу так же, как функция и постоянная величина, рассматриваемые в математическом анализе.

Определение 1. Случайная функция – это функция, которая каждому исходу опыта ставит в соответствие некоторую числовую функцию, то есть отображение пространства Ω в некоторое множество функций (рисунок 1).

Определение 2. Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее – какой именно.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

В силу непредсказуемости поведения изобразить случайную функцию в общем виде на графике не представляется возможным. Можно лишь записать её конкретный вид – то есть её реализацию, полученную в результате проведения опыта. Случайные функции, как и случайные величины, принято обозначать большими буквами латинского алфавита X (t ), Y (t ), Z (t ), а их возможные реализации – соответственно x (t ), y (t ), z (t ). Аргумент случайной функции t в общем случае может быть произвольной (не случайной) независимой переменной или совокупностью независимых переменных.

Случайную функцию называют случайным процессом , если аргументом случайной функции является время. Если же аргумент случайной функции является дискретным, то её называют случайной последовательностью. Например, последовательность случайных величин есть случайная функция от целочисленного аргумента. На рисунке 2 в качестве примера приведены реализации случайной функции X (t ): x1 (t ), x2 (t ), … , xn (t ), которые являются непрерывными функциями времени. Такие функции применяются, например, для макроскопического описания флюктуационных шумов.

Случайные функции встречаются в любом случае, когда имеем дело с непрерывно работающей системой (системой измерения, управления, наведения, регулирования), при анализе точности работы системы приходится учитывать наличие случайных воздействий (полей); температура воздуха в различных слоях атмосферы рассматривается как случайная функция высоты H; положение центра масс ракеты (его вертикальная координата z в плоскости стрельбы) является случайной функцией от его горизонтальной координаты x . Это положение в каждом опыте (пуске) при одних и тех же данных наводки всегда несколько иное и отличается от теоретически рассчитанного.

Рассмотрим некоторую случайную функцию X (t ). Предположим, что над ней произведено n независимых опытов, в результате которых получено n реализаций (рисунок 3) x1 (t ), x2 (t ), … , xn (t ). Каждая реализация, очевидно, есть обычная (неслучайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция X (t ) превращается в обычную, неслучайную функцию.

Зафиксируем некоторое значение аргумента t . Проведём на расстоянии

t = t0 прямую, параллельную оси ординат (рисунок 3). Эта прямая пересечёт реализации в каких-то точках.

Определение . Множество точек пересечения реализаций случайной функции с прямой t = t0 называется сечением случайной функции.

Очевидно, сечение представляет собой некоторую случайную величину , возможные значения которой представляют собой ординаты точек пересечения прямой t = t0 с реализациями xi (t ) (i = ).

Таким образом, случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента, она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) функцию.

Например, если провести два сечения t = t1 и t = t2 , то получается две случайные величины X (t1 ) и X (t2 ), которые в совокупности образуют систему двух случайных величин.

2 Законы распределения

Случайная функция непрерывно изменяющегося аргумента на любом сколь угодно малом интервале его изменения равноценна бесконечному, несчётному множеству случайных величин, которые даже невозможно перенумеровать. Поэтому для случайной функции невозможно обычным путём определить закон распределения, как для обычных случайных величин и случайных векторов. Для изучения случайных функций применяют подход, основанный на фиксации одного или нескольких значений аргумента t и изучении получающихся при этом случайных величин, то есть случайные функции изучаются в отдельных сечениях, соответствующих различным значениям аргумента t .

Фиксируя одно значение t1 аргумента t , рассмотрим случайную величину X1 = X (t1 ). Для этой случайной величины можно определить обычным путём закон распределения, например, функцию распределения F1 (x1 , t1 ), плотность вероятности f1 (x1 , t1 ). Эти законы называются одномерными законами распределения случайной функции X ( t ). Особенностью их является то, что они зависят не только от возможного значения x 1 случайной функции X (t ) при t = t1 , но и от того, как выбрано значение t1 аргумента t , то есть законы распределения случайной величины X1 = X (t1 ) зависят от аргумента t1 как от параметра.

Определение . Функция F1 (x1 , t1 ) = Р(X (t1 )< x1 ) называется одномерной функцией распределения вероятностей случайной функции, или

F1 (x , t ) = Р(X (t )< x ) . (1)

Определение . Если функция распределения F1 (x1 , t1 ) = Р(X (t1 )< x1 ) дифференцируема по x1 то эта производная называется одномерной плотностью распределения вероятности (рисунок 4), или

. (2)

Одномерная плотность распределения случайной функции обладает теми же свойствами, что и плотность распределения случайной величины. В частности: 1) f 1 (x, t ) 0 ;

2) https://pandia.ru/text/78/405/images/image009_73.gif" width="449" height="242">

Одномерные законы распределения не описывают полностью случайную функцию, так как они не учитывают зависимости между значениями случайной функции в разные моменты времени.

Так как при фиксированном значении аргумента t случайная функция превращается в обычную случайную величину, то при фиксировании n значений аргумента получим совокупность n случайных величин X (t1 ), X (t2 ), …, X (tn ), то есть систему случайных величин. Поэтому задание одномерной плотности распределения f1 (x , t ) случайной функции X (t ) при произвольном значении аргумента t аналогично заданию плотностей отдельных величин входящих в систему. Полным описанием системы случайных величин является совместный закон их распределения. Поэтому более полной характеристикой случайной функции X (t ) является n-мерная плотность распределения системы, то есть функция fn (x1 , x2 , … , xn , t1 , t2 , … , tn ).

На практике нахождение n - мерного закона распределения случайной функции вызывает, как правило, большие затруднения, потому обычно ограничиваются двумерным законом распределения, который характеризует вероятностную связь между парами значений X ( t1 ) и X ( t2 ).

Определение . Двумерной плотностью распределения случайной функции X (t ) называется совместная плотность распределения её значений X (t1 ) и X (t2 ) при двух произвольно взятых значениях t 1 и t2 аргумента t .

f2 (x1 , x2 , t1 , t2 )= (3)

https://pandia.ru/text/78/405/images/image012_54.gif" width="227" height="49">. (5)

Условие нормировки для двумерной плотности распределения имеет вид

. (6)

3 Характеристики случайного процесса:

математическое ожидание и дисперсия

При решении практических задач в большинстве случаев получение и использование многомерных плотностей для описания случайной функции сопряжено с громоздкими математическими преобразованиями. В связи с этим при исследовании случайной функции чаще всего пользуются простейшими вероятностными характеристиками, аналогичными числовым характеристикам случайных величин (математическое ожидание, дисперсия) и устанавливаются правила действия с этими характеристиками.

В отличие от числовых характеристик случайных величин, которые являются постоянными числами , характеристики случайной функции являются неслучайными функциями его аргументов.

Рассмотрим случайную функцию X (t ) при фиксированном t . В сечении имеем обычную случайную величину. Очевидно, в общем случае математическое ожидание зависит от t , то есть представляет собой некоторую функцию t :

. (7)

Определение . Математическим ожиданием случайной функции X (t ) называется неслучайная функция https://pandia.ru/text/78/405/images/image016_47.gif" width="383" height="219">

Для вычисления математического ожидания случайной функции достаточно знать её одномерную плотность распределения

Математическое ожидание называют также неслучайной составляющей случайной функции X (t ), в то время как разность

(9)

называют флюктуационной частью случайной функции или центрированной случайной функцией.

Определение . Дисперсией случайной функции X (t ) называется неслучайная функция , значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции.

Из определения следует, что

Дисперсия случайной функции при каждом характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень случайности» случайной функции (рисунок 6).

Лекция 18

Понятие случайного процесса. Характеристики случайных процессов.

Стационарные случайные процессы.

Случайные процессы с независимыми приращениями

Определение. Случайным процессом называется семейство случайных величин , заданных на вероятностном пространстве
, где есть текущее время. Множество значений параметра называют областью определения случайного процесса , а множество возможных значений
– пространством значений случайного процесса .

Случайный процесс, в отличие от детерминированного процесса, заранее предсказать невозможно. В качестве примеров случайных процессов можно рассмотреть броуновское движение частиц, работу телефонных станций, помехи в радиотехнических системах и т. д.

Если область определения случайного процесса представляет конечное или счетное множество отсчетов времени, то говорят, что
– случайный процесс с дискретным временем или случайная последовательность (цепь ), а если область определения – континуум, то
называют случайным процессом с непрерывным временем .

В том случае, когда пространство значений случайного процесса является конечным или счетным множеством, то случайный процесс называют дискретным . Если же пространство значений случайного процесса – континуум, то случайный процесс называют непрерывным .

Действительную функцию
при некотором фиксированном значении называют реализацией или траекторией случайного процесса . Таким образом, случайный процесс представляет собой совокупность всевозможных своих реализаций, то есть
, где индикатор реализаций
может принадлежать счетному множеству действительных чисел или континууму. Детерминированный же процесс имеет единственную реализацию, описываемую заданной функцией
.

При фиксированном
получаем обычную случайную величину
, которая называется сечением случайного процесса в момент времени .

Одномерной функцией распределения случайного процесса
при фиксированном
называется функция

,
.

Эта функция задает вероятность множества траекторий, которые при фиксированном
проходят ниже точки
.

При
из определения (5.1.1) одномерной функции распределения следует, что равенство задает вероятность множества траекторий, проходящих через «ворота» между точками
и
.

Двумерной функцией распределения случайного процесса
при фиксированных и называется функция

,
.

Эта функция задает вероятность множества траекторий, которые одновременно проходят ниже точек
и
.

Аналогично -мерная функция распределения случайного процесса
при фиксированных
определяется равенством

для всех
из
.

Если эта функция достаточное число раз дифференцируема, то - мерная совместная плотность вероятности случайного процесса
имеет вид

.

Функция распределения или плотность вероятности тем полнее описывает сам случайный процесс, чем больше . Эти функции учитывают связь хотя и между любыми, но лишь фиксированными сечениями этого процесса. Случайный процесс считается заданным, если задано множество всех его - мерных законов распределения или - мерных плотностей вероятности для любых . При этом функция распределения должна удовлетворять условиям симметрии и согласованности Колмогорова . Условие симметрии состоит в том, что
– симметричная функция для всех пар
,
, в том смысле, что, например,

Условие же согласованности означает, что

то есть - мерный закон распределения случайного процесса
определяет все законы распределения более низкой размерности.

Рассмотрим различные характеристики случайных процессов.

Определение. Математическим ожиданием или средним значением случайного процесса
называется функция

,

где
– одномерная плотность вероятности случайного процесса. Геометрически математическому ожиданию соответствует некоторая кривая, около которой группируются траектории случайного процесса.

Определение. Дисперсией случайного процесса
называется функция

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия случайного процесса
зависят от одномерной плотности вероятности и являются неслучайными функциями времени . Дисперсия случайного процесса характеризует степень разброса траекторий относительно его среднего значения
. Чем больше дисперсия, тем значительнее разброс траекторий. Если дисперсия равна нулю, то все траектории случайного процесса
совпадают с математическим ожиданием
, а сам процесс является детерминированным.

Определение. Корреляционная функция
случайного процесса
определяется равенством

где
– двумерная плотность вероятности случайного процесса.

Корреляционная функция
характеризует степень связи между ординатами случайного процесса
для двух моментов времени и . При этом, чем больше корреляционная функция, тем более гладкими являются траектории случайного процесса
, и наоборот.

Корреляционная функция обладает следующими свойствами.

1 0 . Симметричность: ,
.

2 0 . ,
.

Эти свойства следуют из соответствующих свойств ковариации случайной величины.

Теория, изучающая случайные процессы на основе математического ожидания и корреляционной функции, называется корреляционной теорией . С помощью методов корреляционной теории исследуются в основном линейные системы автоматического регулирования и управления.

Определение. Случайный процесс
,
, называется стационарным в узком смысле, если совместное распределение случайных величин

И ,

одинаково и не зависит от , то есть

Отсюда для - мерной плотности вероятности справедливо соотношение

Учитывая, что в случае одномерной плотности вероятности, и полагая в этом соотношении
, имеем . Отсюда для стационарного случайного процесса находим следующее выражение для математического ожидания:

.

Аналогично для двумерной плотности вероятности из равенства при
получим . Следовательно, корреляционную функцию можно записать в виде

где
.

Таким образом, для стационарных случайных процессов в узком смысле, математическое ожидание есть постоянная величина, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов, то есть , так как корреляционная функция симметрична.

Определение. Случайный процесс с постоянным математическим ожиданием и корреляционной функцией, зависящей только от разности аргументов, называется случайным процессом, стационарным в широком смысле . Ясно, что стационарный в узком смысле случайный процесс является стационарным и в широком смысле. Обратное же утверждение в общем случае неверно.

Корреляционная функция стационарного случайного процесса обладает приведенными ниже свойствами.

1 0 .
, то есть функция
– четная.

2 0 . Справедливо неравенство
.

3 0 . Для дисперсии стационарного случайного процесса
справедливо соотношение .

Пусть
,
, – стационарный случайный процесс, непрерывный по времени , с математическим ожиданием
и корреляционной функцией
.

Определение. Функция, обозначаемая
и определяемая соотношением

,

называется спектральной плотностью .

Если известна спектральная плотность
, то с помощью преобразования Фурье можно найти корреляционную функцию

.

Последние два равенства называются формулами Винера – Хинчина .

Очевидно, что для существования обратного преобразования Фурье достаточно существования интеграла
, то есть достаточно абсолютной интегрируемости на промежутке
корреляционной функции
.

Можно показать, что спектральная плотность
стационарного случайного процесса является четной функцией, то есть
.

Так как
– четная функция, то

,

.

Из этих формул и определения корреляционной функции
следует, что дисперсия стационарного случайного процесса
равна

.

Если случайный процесс есть флуктуация электрического тока или напряжения, то дисперсия случайного процесса как среднее значение квадрата тока или напряжения пропорциональна средней мощности этого процесса. Поэтому из последнего равенства следует, что спектральная плотность
в этом случае характеризует плотность мощности, приходящуюся на единицу круговой частоты
.

На практике вместо спектральной плотности
часто применяют нормированную спектральную плотность
, равную

.

Тогда, как нетрудно убедиться, так называемая нормированная корреляционная функция и нормированная спектральная плотность
связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье:

,
.

Полагая
и учитывая, что
, имеем

.

Учитывая четность спектральной функции, получаем

,

то есть полная площадь, ограниченная снизу осью
и сверху графиком нормированной спектральной плотности, равна единице.

Определение. Случайный процесс
,
, называется процессом с независимыми приращениями , если для любых
,
,
, случайные величины

,
, …,

независимы.

В этом случае для различных пар случайных величин корреляционная функция равна нулю.

Если случайные величины попарно некоррелированы, то случайный процесс
называется процессом с некоррелированными или ортогональными приращениями .

Так как случайные величины независимы, то они некоррелированы (ортогональны). Тем самым всякий процесс с независимыми приращениями есть процесс с ортогональными приращениями.

Пусть
– случайный процесс с ортогональными приращениями. Тогда для
получаем

поскольку случайные величины
и
ортогональны.

Аналогично при
получим, что .

Таким образом, корреляционная функция
случайного процесса с ортогональными приращениями обладает свойством

Применяя функцию Хевисайда
, корреляционную функцию можно записать в виде

Литература: [Л.1], стр. 155-161

[Л.2], стр. 406-416, 42-426

[Л.3], стр. 80-81

Математическими моделями случайных сигналов и помех являются случайные процессы. Случайным процессом (СП) называется изменение случайной величины во времени . К случайным процессам относится большинство процессов, протекающих в радиотехнических устройствах, а также помехи, сопровождающие передачу сигналов по каналам связи. Случайные процессы могут быть непрерывными (НСП), либо дискретными (ДСП) в зависимости от того, какая случайная величина непрерывная или дискретная изменятся во времени. В дальнейшем основное внимание будет уделено НСП.

Прежде чем приступить к изучению случайных процессов необходимо определится со способами их представления. Будем обозначать случайный процесс через , а его конкретную реализацию – через . Случайный процесс может быть представлен либо совокупностью (ансамблем) реализаций , либо одной , но достаточно протяженной во времени реализацией . Если сфотографировать несколько осциллограмм случайного процесса и фотографии расположить одну под другой, то совокупность этих фотографий будет представлять ансамбль реализаций (рис. 5.3).

Здесь – первая, вторая, …, k-ая реализации процесса. Если же отобразить изменение случайной величины на ленте самописца на достаточно большом интервале времени T, то процесс будет представлен единственной реализацией (рис. 5.3).

Как и случайные величины, случайные процессы описываются законами распределения и вероятностными (числовыми) характеристиками. Вероятностные характеристики могут быть получены как усреднение значений случайного процесса по ансамблю реализаций, так и усреднением по одной реализации.

Пусть случайный процесс представлен ансамблем реализаций (рис. 5.3). Если выбрать произвольный момент времени и зафиксировать значения, принимаемые реализациями в этот момент времени, то совокупность этих значений образует одномерное сечение СП

и представляет собой случайную величину . Как уже подчеркивалось выше, исчерпывающей характеристикой случайной величины является функция распределения или одномерная плотность вероятности

.

Естественно как , так и , обладают всеми свойствами функции распределения и плотности распределения вероятности, рассмотренными выше.

Числовые характеристики в сечении определяются в соответствии с выражениями (5.20), (5.22), (5.24) и (5.26). Так, в частности математическое ожидание СП в сечении определяется выражением

а дисперсия – выражением

Однако, законов распределения и числовых характеристик только в сечении недостаточно для описания случайного процесса, который развивается во времени. Поэтому, необходимо рассмотреть второе сечении (рис. 5.3). В этом случае СП будет описываться уже двумя случайными величинами и , разнесенными между собой на интервал времени и характеризоваться двумерной функцией распределения и двумерной плотностью , где , . Очевидно, если ввести в рассмотрение третье, четвертое и т.д. сечения, можно прийти к многомерной (N-мерной) функции распределения и соответственно к многомерной плотности распределения .

Важнейшей характеристикой случайного процесса служит автокорреляционная функция (АКФ)

устанавливающая степень статистической связи между значениями СП в моменты времени и

Представление СП в виде ансамбля реализаций приводит к понятию стационарности процесса. Случайный процесс является стационарным , если все начальные и центральные моменты не зависят от времени, т.е.

, .

Это жесткие условия, поэтому при их выполнении СП считается стационаром в узком смысле .

На практике используется понятие стационарности в широком смысле . Случайный процесс стационарен в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, т.е.:

а автокорреляционная функция определяется только интервалом и не зависит от выбора на оси времени

В дальнейшем будут рассматриваться только стационарные в широком смысле случайные процессы.

Выше отмечалось, что случайный процесс помимо представления ансамблем реализаций, может быть представлен единственной реализацией на интервале времени T. Очевидно, все характеристики процесса могут быть получены усреднением значений процесса по времени.

Математическое ожидание СП при усреднении по времени определяется следующим образом:

. (5.46)

Отсюда следует физический смысл : математическое ожидание – это среднее значение (постоянная составляющая) процесса.

Дисперсия СП определяется выражением

и имеет физический смысл средней мощности переменной составляющей процесса.

Автокорреляционная функция при усреднении по времени

Случайный процесс называется эргодическим , если его вероятностные характеристики, полученные усреднением по ансамблю, совпадают с вероятностными характеристиками, полученными усреднением по времени единственной реализации из этого ансамбля. Эргодические процессы являются стационарными.

Использование выражений (5.46), (5.47) и (5.48) требует, строго говоря, реализации случайного процесса большой (теоретически бесконечной) протяженности. При решении практических задач интервал времени ограничен. При этом большинство процессов считают приблизительно эргодическими и вероятностные характеристики определяют в соответствии с выражениями

; (5.49)

;

Случайные процессы, у которых исключено математическое ожидание, называются центрированными . В дальнейшем под и будут подразумеваться значения центрированных случайных процессов. Тогда выражения для дисперсии и автокорреляционной функции принимают вид

; (5.50)

Отметим свойства АКФ эргодических случайных процессов:

– автокорреляционная функция является вещественной функцией аргумента ,

– автокорреляционная функция является четной функцией, т.е. ,

– при увеличении АКФ убывает (необязательно монотонно) и при стремится к нулю,

– значение АКФ при равно дисперсии (средней мощности) процесса

.

На практике часто приходится иметь дело с двумя и более СП. Так например, на вход радиоприемника одновременно поступает смесь случайного сигнала и помехи. Взаимную связь между двумя случайными процессами устанавливает взаимная корреляционная функция (ВКФ). Если и – два случайных процесса, характеризующиеся реализациями и , то взаимная корреляционная функция определяется выражением

Применение общих определений, приведенных в предыдущем параграфе, иллюстрируется ниже на нескольких характерных случайных процессах.

Наряду с обозначением случайного процесса символом будет применяться в том же смысле обозначение под которым подразумевается случайная функция времени. Как и ранее, обозначает реализацию случайной функции

1. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ АМПЛИТУДОЙ

Пусть в выражении, определяющем сигнал

частота и начальная фаза являются детерминированными и постоянными величинами, а амплитуда А - случайная, равновероятная в интервале от 0 до величина (рис. 4.2).

Найдем одномерную плотность вероятности для фиксированного момента времени . Мгновенное значение может быть любым в интервале от 0 до причем будем считать, что . Следовательно,

Рис. 4.2. Совокупность гармонических колебаний со случайной амплитудой

Рис. 4.3. Плотность вероятности гармонического колебания со случайной амплитудой

График функции для фиксированного значения представлен на рис. 4.3.

Математическое ожиданир

Наконец, дисперсия

Рассматриваемый случайный процесс нестационарный и неэргодический.

2. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ ФАЗОЙ

Пусть амплитуда и частота гармонического сигнала заранее достоверно известны, а начальная фаза - случайная величина, которая с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в интервале от до . Это означает, что плотность вероятности начальной фазы

Рис. 4.4. Совокупность гармонических колебаний со случайными фазами

Одну из реализаций случайного процесса образуемого совокупностью гармонических колебаний со случайными фазами (рис. 4.4), можно определить выражением

(4.23)

Полная фаза колебания является случайной величиной, равновероятной в интервале от до . Следовательно,

Рис. 4.5. К определению плотности вероятности гармонического колебания со случайной фазой

Рис. 4.6. Плотность вероятности гармонического колебания со случайной фазой

Найдем одномерную плотность вероятности случайного процесса . Выделим интервал (рис. 4.5) и определим вероятность того, что при измерении, проведенном в промежутке времени от до мгновенное значение сигнала окажется в интервале Эту вероятность можно записать в виде , где - искомая плотность вероятности. Очевидно, что вероятность совпадает с вероятностью попадания случайной фазы колебаний в один из двух заштрихованных на рис. 4.5 фазовых интервалов. Эта последняя вероятность равна Следовательно,

откуда искомая функция

Таким образом, окончательно

График этой функции изображен на рис. 4.6.

Существенно, что одномерная плотность вероятности не зависит от выбора момента времени t, а среднее по множеству (см. (2.271.7) в )

совпадает со средним по времени

(Это справедливо для любой реализации рассматриваемого случайного процесса.)

Корреляционную функцию в данном случае можно получить усреднением произведения по множеству без обращения к двумерной плотности вероятности [см. общее выражение (4.8)]. Подставляя в (4.8)

а также учитывая, что первое слагаемое является детерминированной величиной, а второе слагаемое при статистическом усреднении с помощью одномерной плотности вероятности [см. (4.22)] обращается в нуль, получаем

Такой же результат получается и при усреднении произведения по времени для любой реализации процесса.

Независимость среднего значения от и корреляционной функции от положения интервала - на оси времени позволяет считать рассматриваемый процесс стационарным. Совпадение же результатов усреднения по множеству и времени (для любой реализации) указывает на эргодичность процесса. Аналогичным образом нетрудно показать, что гармоническое колебание со случайной амплитудой и случайной фазой образует стационарный, но не эргодический процесс (различные реализации обладают неодинаковой дисперсией).

3. ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характерен для помех канала связи. Он очень удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличается от нормального, часто заменяют гауссовским процессом. Одномерная плотность вероятности нормального процесса определяется выражением

В данном параграфе рассматривается стационарный и эргодический гауссовский процесс. Поэтому под можно подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной (достаточно длительной) реализации случайного процесса.

Графики плотности вероятности при нормальном законе для некоторых значений изображены на рис. 4.7. Функция симметрична относительно среднего значения. Чем больше тем меньше максимум, а кривая становится более пологой [площадь под кривой равна единице при любых значениях ].

Широкое распространение нормального закона распределения в природе объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых.

Это положение, сформулированное в 1901 г. А. М. Ляпуновым, получило название центральной предельной теоремы.

Наглядными физическими примерами случайного процесса с нормальным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым движением свободных электронов в проводниках электрической цепи как дробовым эффектом в электронных приборах (см. § 7.3.).

Рис. 4.7. Одномерная плотность вероятности нормального распределения

Рис. 4.8. Случайные функции с одинаковым распределением (нормальным), но с различными частотными спектрами

Не только шумы и помехи, но и полезные сигналы, являющиеся суммой большого числа незавнси случайных элементарных сигналов, например гармонических колебаний со случайной фазой или амплитудой, часто можно трактовать гауссовские случайные процессы.

На основе функции можно найти относительное время пребывания сигнала в определенном интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому (пикфактор) и ряд других важных для практики параметров случайного сигнала. Поясним это на примере одной из реализаций гауссовского процесса, изображенной на рис. 4.8, а для Эта функция времени соответствует шумовой помехе, энергетический спектр которой простирается от нулевой частоты до некоторой граничной частоты. Вероятность пребывания значения х(t) в интервале от а до b определяется выражением (4.1). Подставляя в это выражение (4.28), при получаем